矩阵形状

Orthogonal Matrix

正交矩阵和可逆矩阵是矩阵理论中的两个重要概念，它们具有不同的含义和性质。

正交矩阵（Orthogonal Matrix）：
正交矩阵是指一个方阵，其列向量（或行向量）是彼此正交的单位向量。换句话说，正交矩阵的转置与逆矩阵相等。形式化表示为：若矩阵 A 是一个 n×n 的方阵，满足 A^T × A = A × A^T = I，其中 I 是单位矩阵，则 A 是一个正交矩阵。

正交矩阵具有以下性质：

正交矩阵的行向量（或列向量）构成了一组正交基。
正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即 A^T = A^(-1)。
正交矩阵的行列式的绝对值为 1 或 -1。
正交矩阵保持向量的长度不变，即 ||Ax|| = ||x||，其中 x 是一个向量。
可逆矩阵（Invertible Matrix）：
可逆矩阵是指一个方阵，存在一个矩阵的逆矩阵，使得两者相乘等于单位矩阵。换句话说，可逆矩阵是一个方阵，满足存在一个矩阵 B，使得 A × B = B × A = I。可逆矩阵也称为非奇异矩阵（Non-singular Matrix）或满秩矩阵（Full-rank Matrix）。

可逆矩阵具有以下性质：

可逆矩阵的行列式不为零，即 |A| ≠ 0。
可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
可逆矩阵可以通过高斯消元法等方法求解。
区别：

正交矩阵强调矩阵的列向量（或行向量）之间的正交性和单位长度，而可逆矩阵强调矩阵的可逆性。
正交矩阵是一种特殊的方阵，具有特定的正交性质，而可逆矩阵可以是任意大小的方阵，只要它满足可逆条件。
正交矩阵的转置等于逆矩阵，而可逆矩阵的逆矩阵是通过矩阵运算求解得到的。
正交矩阵的行列式的绝对值为 1 或 -1，而可逆矩阵的行列式不为零。
需要注意的是，正交矩阵和可逆矩阵是不同的概念，但在某些特殊情况下，正交矩阵也是可逆矩阵。