行列式

最后发布时间 : 2023-05-21 12:52:07 浏览量 :

二阶行列式

其中

a_{ij}

表示第

i

个方程中第

j

个未知数的系数，

b_i

表示第

i

个方程的常数项。
用加减消元法来解该方程组，第一、二式分别乘以

a_{22}

和

a_12

，然后相减，消去未知数

x_2

，得到

同理，消去未知数

x_1

，得到

当时，方程组 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne 0$ 有唯一解

三阶行列式

n价行列式

定义n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和，这里

j_1j_2\cdots j_n

是

1,2,\cdots,n

的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当

j_1j_2\cdots j_n

是偶排列时带有正号，当

j_1j_2\cdots j_n

是奇排列时带有负号。这一定义可写成

行列式的性质

性质1: 行列式与它的转置行列式相等
性质2: 交换行列式的两行(列),行列式变号
性质3: 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数 k，等于用数 k 乘此行列式
性质4: 若行列式有两行(列)成比例,则行列式等于零
性质5: 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 i行的元素都是两数之和
性质6: 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.

行列式按行(列)展开

$\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} &a_{13} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31}& a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}$ 中 $a_{21}$ 的余子式和代数余子式分别为： $M_{21} = \begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}$ ， $A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-M_{21}$

引理：设D为n阶行列式，其中第i行所有元素除(i,j)外都为零，则 $D=a_{ij}A_{ij}$

定理：行列式等于它们的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和