矩阵的运算

最后发布时间 : 2023-05-21 15:08:12 浏览量 :

只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵，其形状为

简记为

\Lambda =A = diag\{a_{11},a_{aa},\cdots , a_{nn}\}

对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的n阶对角（矩）阵称为单位（矩）阵，记作

E

或

I_n

：

主对角线以下元素都为零的方阵，称为上三角阵，即

主对角线上方元素都为零的方阵，称为下三角阵。
可见，对角阵既是上三角阵，又是下三角阵。

矩阵的加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘
矩阵的转置
方阵的行列式

矩阵的转置

$(A^T)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$
$(kA)^T=kA^T$

对称阵与反对称阵

设方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$
若矩阵 A满足 $A^T=A$ ,则称 A 为对称矩阵
直观来看,对称阵的元素关于对角线对称相等
例如 $A=\begin{vmatrix} 1& 3& 5\\ 3& 2& 6\\ 5&6 &8 \end{vmatrix}$ 为对称阵

若矩阵 A满足 $A^T=-A$ ,则称 A 为反对称矩阵.
反对称阵的元素关于对角线异号
并且对角线上元素全为零
例如 $A=\begin{vmatrix} 0& 2& 4\\ -2& 0& 6\\ -4&-6 &0 \end{vmatrix}$ 为反对称阵

方阵的行列式

$|A^T|=|A|$
$|\lambda A| = \lambda^n |A|$
|AB|=|A|\cdot |B|
- $|AB|=|BA|$

伴随阵

由行列式 A 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的矩阵
$A^*=\begin{vmatrix} A_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn} \end{vmatrix}$
称为矩阵 A 的伴随矩阵,简称伴随阵

例求二阶矩阵 $A=\begin{vmatrix} a& b\\ c& d \end{vmatrix}$ 的伴随矩阵

$AA^*=A^*A=|A|E$

逆矩阵

定义设 A 为 n 阶方阵, 若存在 n 阶方阵 B , 使得 $AB=BA=E$ ，则称矩阵 A 是可逆的, 并称 B 是 A 的逆矩阵

注:若 n 阶方阵 A 可逆,则其逆矩阵是唯一的!

A的逆记为 $A^{-1}$ ， $B=A^{-1}$

逆矩阵的性质

$(A^{-1})^{-1}=A$
若 A 可逆,数\lambda \ne 0 , 则\lambda A可逆,且 (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}
若A 、 B 为同阶矩阵且均可逆, 则 AB 可逆,且(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
- 若A 可逆, 则A^T也可逆,且(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T

求逆公式

定理1 若 n 阶方阵 A 可逆,则|A| \ne 0
- 证明若方阵 A 可逆, 即存在矩阵 B 满足 $AB=BA=E$ ，由行列式的性质，得 $|A|\cdot |B|=|AB|=|BA|=|E|=1$ ，所以 $|A| \ne 0$
定理2 若|A| \ne 0则矩阵 A 可逆,且A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*

当 $|A| = 0$ 时, A 称为奇异矩阵，可逆矩阵就是当 $|A| \ne 0$ 时，A 称为非奇异矩阵