特征值分解与奇异值分解

特征值与特征向量

定义:设 A是 n阶矩阵,如果数 λ和 n维非零向量 x满足Ax=\lambda x，则这样的数λ称为矩阵 A的特征值,非零向量 x称为 A的对应于特征值λ的特征向量。

以λ为未知数的一元n次方程|A-\lambda E|=0称为A的特征方程.
f(\lambda )=|A-\lambda E| 称为矩阵 A的特征多项式
矩阵A的特征值就是它的特征方程的根

设n阶矩阵A=(a_{ij})的特征值为 \lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n

• 特征值之和为对角线元素之和：\lambda_1+\cdots +\lambda_n=a_{11}+\cdots +a_{nn}
• 特征值之积为A的行列式：\lambda_1\cdots \lambda_2=|A|

设\lambda=\lambda_i为矩阵A的一个特征值,
由方程(A-\lambda E)x=0可求得非零向量x=p_i
则p_i就是矩阵A的对应于特征值\lambda _i的特征向量.

特征值与特征向量的求法

• 写出A的特征多项式|A-\lambda E|
• 解特征方程得n个特征值\lambda_1,\cdots ,\lambda_n
• 对每个特征值\lambda _i,求(A-\lambda E)x=0的基础解系,写出其全体非零线性组合,即得\lambda _i的全体特征向量.

例 求矩阵\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -1 &3 \end{pmatrix}的特征值和特征向量

A的特征多项式为
|A-\lambda E|=\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1\\ -1& 3-\lambda \end{vmatrix}=(4-\lambda)(2-\lambda)
所以A的特征值为\lambda_1= 2, \lambda_2=4
对于\lambda_1=2, 解方程 (A-2E)x=0由

相似矩阵

定义设 A 、B都是n阶矩阵 , 若存在可逆阵 P ,使得P^{-1}AP=B，则 称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵A与B相似。
对A进行运算P^{-1}AP称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵

性质

相似关系为等价关系

• 反身性: EAE=A
• 对称性: P^{-1}AP =B\Longrightarrow PBP^{-1}=A
• 传递性: P^{-1}AP=B, Q^{-1}BQ=C \Longrightarrow (PQ)^{-1}A(PQ)=C

一文让你通俗理解奇异值分解