Introduction to logistic regression

学习资料

• Lecture 14: Logistic regression for case-control data and conditional logistic regression

当我们分析的outcome是0或1时，y的期望值是y=1的机率p=Pr(y1)，如果直接将binary variable取期望值，使用一开始的回归方法，将存在以下问题：

• 预测的值是0~1，x值是正无限大到负无限大，\beta很难估计
• 在连续的变量，y的variance是常数，当y是binary variable，其期望值是p(1-p)，其variance依赖mean，而当x值不同时，mean就不同，显然与y的variance是常数的假设不符

为了解决这个问题，需要使用某一个函数转换y的期望值，让其处于正无限大到负无限大

Logistic regression: model

使用logit或者log oddsln(\frac{p}{1-p})作为响应变量，这样让响应变量趋于正无限大(p->1 the logit -> \infty )与负无限大(p->0 the logit -> -\infty )之间

logit的variance仍然不是constant的，因此需要特定的方法去fit the line

Logistic regression: assumptions

• 每一个y是独立的
• 不是y的期望值与convariates x有线性关系，而是ln(\frac{p}{1-p})与x有线性关系
• y没有constant variance，不能用最小平方法估计\beta,用least-squares求解的beta不是best linear unbiased estimators。

Logistic regression: interpretation of coefficients

当自变量是年龄，因变量是是否患病时，Odds Ratio的解释可以具体化为：在控制其他变量不变的情况下，年龄每增加一岁，个体患病与不患病的概率之比（即胜率）的变化倍数。