导数与微分

最后发布时间:2022-07-25 22:37:23 浏览量:

倒数

定义: 设函数y=f(x)在点x_0的某个邻域内有定义,当自变量xx_0处取得增量\Delta x时,相应的,因变量取得增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0);如果\Delta y\Delta x之比当\Delta x \to 0 时的极限点存在,那么称函数y=f(x)在点x_0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x_0处的倒数,记为f'(x_0),即

f'(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0) }{\Delta x}

也可记作:
y'|_{x=x_0}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} |_{x=x0}\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}|_{x=x_0}

微分

设函数y=f(x)在某区间内有定义,x_0x_0+\Delta x在这区间内,如果函数的增量

\Delta y =f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

可表示为

\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)

其中A是不依赖\Delta x的常数,那么称函数y=f(x)在点x_0是可微的,而A\Delta x叫做函数y=f(x)在点x_0相应于自变量增量\Delta x的微分,记作dy,即

dy = A\Delta x

函数f(x)在点x_0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x_0可导,且当f(x)在点x_0可微时,其微分一定是dy = f'(x)\Delta x

微分中值定理

罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值

洛必达法则、泰勒公式

不定积分

定积分

微分方程