导数与微分

最后发布时间:2022-07-25 22:37:23 浏览量:

倒数

定义: 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时，相应的，因变量取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限点存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的倒数，记为 $f'(x_0)$ ，即

$f'(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0) }{\Delta x}$

也可记作：
$y'|_{x=x_0}$ ， $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} |_{x=x0}$ ， $\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}|_{x=x_0}$

微分

设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义， $x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在这区间内，如果函数的增量

$\Delta y =f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

可表示为

$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$

其中A是不依赖 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$ ，即

$dy = A\Delta x$

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，且当 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微时，其微分一定是 $dy = f'(x)\Delta x$

微分中值定理

罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值

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微分

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洛必达法则、泰勒公式

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定积分

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